Page 119 - คณิตศาสตร์ประยุกต์สำหรับเทคโนโลยีอุตสาหกรรม

อนพุ นั ธย์ ่อย 8-109

กฎลูกโซน่ ี้สามารถพิจารณาจากแผนภาพตน้ ไม้ ไดด้ งั ภาพท่ี 8.8

ภาพท่ี 8.8 แผนภูมิตน้ ไม้ของการหาอนุพันธ์ยอ่ ยของฟังก์ชนั สองตัวแปรโดยใช้กฎลกู โซ่

จากภาพที่ 8.8 ส่วนบนสุดเป็นตัวแปร z ซ่ึงเป็นฟังก์ชันสองตัวแปร และสามารถหาอนุพันธ์ย่อยตาม
แนวด้านข้างโดยเทียบกบั x และ y ไดค้ อื z และ z โดยทีต่ ัวแปร x และ y สามารถหาอนุพันธ์เทียบ

x y

กับ t ได้อีก เมื่อพิจารณาจากบนลงล่างเราก็สามารถหาอนุพันธ์ของตัวแปรข้างบนเทียบกับตัวแปรข้างล่างท่ี
ติดกนั ได้ ดงั ทฤษฎบี ท 8.2.2

ตัวอย่างที่ 8.2.8 กาหนดให้ z  x2  y3 โดยที่ x 1 t2 และ y 1 t2 จงหา dz

dt

วิธที า

จากโจทย์จะพบว่า สมการของ z เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูปของตัวแปร x และ y ในขณะท่ีสมการ

ของ x และ y เป็นฟังก์ชันท่ีอยใู่ นรปู ของตวั แปร t

จาก z  x2  y3
จากกฎลูกโซใ่ นทฤษฎบี ท 8.2.2 จะได้ว่า

dz  z . dx  z . dy
dt x dt y dt

  (x2  y3). d (1 t2 )   (x2  y3). d (1 t2 )
x dt y dt

   (x2 )   ( y3 ) . d (1)  d (t 2 )     ( x2 )   ( y3) . d (1)  d (t 2 ) 
 x x dt dt   y y dt dt 
