Page 24 - โครงสร้างข้อมูลและขั้นตอนวิธี

2-14 โครงสร้างข้อมูลและขั้นตอนวิธี

5. จจจงงง​หห​ห​ าาาบ​บ​​บก๊ิกิกิ๊๊ โ​โ​​โอออ​ขข​​ขออองงงผ​ ลiiΣΣ==nn​ร11วมjΣΣj==nn1iiΣ=n111 i2
6.
7.

แนว​ตอบก​ จิ กรรม 2.1.1
1. พิจารณาว​ ่าฟ​ ังก์ชัน​ต่อไ​ป​น​้เี ปน็ O(x) หรอื ​ไม่
1.1 f(x) = 100 เปน็ O(x) เพราะ 100 เปน็ ค​ า่ ค​ งตวั ไ​มม่ ก​ี ารเ​ตบิ โตข​ องฟ​ งั กช์ นั ดงั น​ น้ั x เปน็ ฟ​ งั กช์ นั ​
ทเี​่ ติบโต​เรว็ ก​ วา่ 100 ดงั ​นั้น f(x) = O(x)
1.2 f(x) = 3x + 14 เป็น O(x) เพราะ 3x + 14 เป็นฟ​ ังก์ชันพ​ ห​นุ าม จากท​ ฤษฎีบท 2.1 จะ​ไดว้​ ่า
f(x) = O(x)
1.3 f(x) = 4x2 + 3 ไมเ​่ ป็น O(x) เพราะ 4x2 + 3 เป็นฟ​ ังกช์ ันพ​ ห​ุนามก​ ำ�ลังส​ อง ซ่งึ โ​ตเ​รว็ ​กวา่ x
และ​จาก​ทฤษฎบี ท 2.1 จะไ​ดว้​ ่า f(x) = O(x2) เป็นบ​ ๊ิก​โอ​ท​ี่ประมาณ​ไดใ​้ กล้​เคียงท​ ่สี ดุ ดังน​ น้ั f(x) ≠ O(x)
2. พจิ ารณาว​ า่ ​ฟงั กช์ นั ​ตอ่ ไ​ป​นเ้ี​ป็น O(x2) หรือ​ไม่
2.1 f(x) = 23x – 19 เปน็ O(x2) เพราะ x2 โต​เรว็ ​กวา่ ดัง​นนั้ f(x) = O(x2)
2.2 f(x) = (x + 10)2 เปน็ O(x2) เพราะ เม่อื ​กระจาย​ก�ำ ลงั พ​ หน​ุ ามจ​ ะไ​ด้ x2 + 20x + 100 ซ่งึ ​เป็น​
fฟ(xงั )กช์=นั O​พ(xห4​ุน) าเปม2็น.จ3บ​ากกิ๊ fท​โ​(อxฤ​ท)ษ่​ปี=ฎรบี ะxท2ม4า2ณ.ไ1มไ​ดจ่​เป้ใ​ะก​ไ็นดล้ว​​เ้ คO่าีย(fงx(​ทx2))ส่ี =เดุ พOดร(งัาxน​ะ2)ั้นx2f4(x)โต≠​เรO็ว(x​ก2ว)่า x2 และ​จาก​ทฤษฎีบท 2.1 จะ​ได้​ว่า
3. ให้​แสดงว​ ่า 2x4 + 3x3 – x2 + 12 เป็น O(x4)
สังเกต​วา่ เมื่อ x > 3 จะ​ได้ว​ า่
3x3 < x4 – x2 < x4 และ 12 < x4
จะ​ได้​ว่า 2x4 + 3x3 – x2 + 12 < 2x4 + x4 + x4 + x4 = 5x4
ดใหัง​น้​แสน้ั ดcง​ว=า่ 52แxล+ะ7xเ0ป=น็ 3Oเป(3็นx)​ตัวยืนย​ นั เ​พือ่ แ​ สดง​วา่ 2x4 + 3x3 – x2 + 12 = O(x4)
4.
สงั เกต​ว่า เมอ่ื x > 2 จะไ​ด้​ว่า
2x < 3x และ 7 < 3x
จะ​ได้​วา่ 2x + 7 < 3x + 3x = 2⋅3x
บดบบังกิ๊ิก๊๊ิก​นโ​โ​โ​ อออ้ัน​ขข​​ขcอออ=งงง​ผ2ลiΣ=iΣnแ=ร​n11ลวะมjΣ=jΣn=xn110iΣ=n1=11 2 เปน็ ต​ ัวยนื ​ยัน​เพ่ือแ​ สดง​วา่ 2x + 7 = O(3x)
5. i2 = 61 (2n3 + 3n2 + n) = O(n3)
n
6. = n = n2 = O(n2)
= iΣ=n1
7. iΣ=1 (n – i + 1) = n n– n i + n = 1

iΣ=1 iΣ=1 iΣ=1
= n2 – 21 (n2 + n) + n = 12 (n2 + n) = O(n2)