Page 15 - คณิตศาสตร์ประยุกต์สำหรับเทคโนโลยีอุตสาหกรรม

อนุพนั ธย์ อ่ ย 8-5

เรอื่ งท่ี 8.1.1
บทนยิ ามของอนุพนั ธย์ ่อยของฟงั ก์ชัน

จากหนว่ ยท่ี 2 เราไดศ้ กึ ษาการหาอัตราการเปล่ียนแปลง ณ ขณะใด ๆ ของฟงั กช์ ัน หรอื เรยี กอกี อย่าง
หนึ่งว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันหนึ่งตัวแปร เช่น พิจารณาพื้นที่วงกลม (A) ซึ่งหาได้จากสมการ

A  f (r)  r2 เมื่อ r คือรัศมีของวงกลม จะเห็นว่าเป็นสมการที่มีตัวแปรอิสระหน่ึงตัวแปร น่ันก็คือรัศมี
หรอื ตวั แปร r และการเปลีย่ นแปลงของตัวแปร r เทา่ นนั้ เป็นเหตทุ าให้เกดิ การเปลี่ยนแปลงของพ้นื ทีว่ งกลม

แต่หน่วยนี้จะสนใจฟังก์ชันทีม่ ีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว หรือเรียกว่าฟังก์ชันหลายตัวแปร การหาอัตรา
การเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันหลายตัวแปรหมายความว่าการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรแต่ละตัวที่อยู่ในฟังก์ชัน
กล่าวจะมีผลต่อการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน เช่น พิจารณาปริมาตรของถังรูปทรงกระบอก (V ) ดังภาพท่ี
8.2.1 ซ่งึ หาได้จากสมการ V  f (r,h)  r2h เมอื่ r คือ รศั มี และ h คอื ความสูง ของถงั ทรงกระบอก

(ก) (ข) (ค) (ง)

ภาพท่ี 8.1 (ก) กรณเี พิ่มเฉพาะรศั มอี ยา่ งเดยี ว (ข) การเปลย่ี นแปลงของปรมิ าตรของถังรูปทรงกระบอก

(ค) กรณีเพิ่มเฉพาะความสูงอย่างเดยี ว และ (ง) กรณีเพิ่มทั้งรศั มีและความสงู

จะเหน็ วา่ สมการหรือฟงั ก์ชัน V  f (r,h)  r2h เปน็ ฟังก์ชนั ที่มตี ัวแปรมากกวา่ หนงึ่ ตัวแปร นั่น
ก็คอื ตัวแปรรัศมี หรอื ตวั แปร r และตวั แปรความสูง หรอื ตัวแปร h เพราะฉะนน้ั การเปล่ียนแปลงของตวั แปร
r และ h ส่งผลทาให้เกิดการเปล่ียนแปลงของปริมาตรของถังกระบอกนี้ เราอาจจะเกิดคาถามว่าอัตราการ
เปล่ียนแปลงของปริมาตรจะเป็นอย่างไร ถ้า 1) เกิดการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรใดตัวแปรหน่ึง โดยให้ตัวแปร
อื่นท่ีเหลือไม่เปล่ียนแปลง ซึ่งในกรณีน้ี ได้แก่ ก) เปลี่ยนแปลงรัศมี แต่คงความสูงไว้เท่าเดิม ดังภาพท่ี 8.1 (ข)