Page 16 - คณิตศาสตร์ประยุกต์สำหรับเทคโนโลยีอุตสาหกรรม

8-6 คณติ ศาสตรป์ ระยกุ ตส์ าหรบั เทคโนโลยีอตุ สาหกรรม

ซ่ึงเป็นการเปลี่ยนแปลงโดยการเพิ่มรัศมีของถังแต่ความสูงเท่าเดิม หรือ ข) เปล่ียนแปลงความสูง แต่คงรัศมี
เทา่ เดิม ดงั ภาพที่ 8.1 (ค) ซ่ึงเปน็ การเปลี่ยนแปลงโดยการเพิ่มความสูงของถงั แต่ความรศั มเี ท่าเดิม และ 2) เกดิ
การเปล่ียนแปลงของตัวแปรพร้อม ๆ กัน ซ่ึงในกรณีนี้คือรัศมีและความสูงของถังมีการเปลี่ยนแปลงโดยมีการ
เพิ่มท้ังรัศมีและความสูงพร้อม ๆ กัน ดังภาพท่ี 8.1 (ง) ในหน่วยนี้จะสนใจเฉพาะในกรณีท่ี 1) เท่าน้ัน ส่วน
กรณีที่ 2) สามารถศึกษาในหนว่ ยอื่น ๆ

จากตัวอย่างของปริมาตรถังรูปทรงกระบอกน้ี จะพบว่าเราสามารถตอบคาถามได้โดยใช้ความรู้เร่ือง
การหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน ซ่ึงจะกล่าวในหน่วยนี้ โดยฟังก์ชันที่ว่าน้ีเป็นฟังก์ชันที่มีตัวแปรอิสระมากกว่า
หนึ่งตัวแปร เช่น f (x, y)  x  y2 เป็นฟังก์ชันท่ีมีตัวแปร 2 ตัว คือตัวแปร x และตัวแปร y หรือ
f (x, y, z)  2x2  5e2y  ln z เป็นฟังก์ชันท่ีมีตัวแปร 3 ตัว คือตัวแปร x ตัวแปร y และตัวแปร z
เป็นต้น สาหรับการหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันหลายตัวแปรเหล่าน้ียังคงอาศัยความรู้ในเร่ืองการหาลิมิตของ
ฟังก์ชันเป็นพื้นฐาน โดยหากต้องการหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันหลายตัวแปรเทียบกับตัวแปรใดตัวแปรหน่ึง
สามารถทาไดโ้ ดยกาหนดให้ตวั แปรอน่ื ท่ีเหลอื ไม่มกี ารเปล่ยี นแปลง

เพราะฉะน้นั อนุพนั ธย์ ่อย (partial derivative) หมายถงึ อนุพันธ์ของฟงั กช์ นั หลายตวั แปรเทยี บกับตวั
แปรอสิ ระตัวใดตัวหน่งึ โดยใหต้ ัวแปรอ่นื ๆ ท่เี หลอื เปน็ ค่าคงตัว

สาหรับอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันสองตัวแปร การหาอนุพันธ์ย่อยของ f (x, y) เทียบกับ x ที่จุด
(x, y) สามารถสรุปเป็นบทนิยาม 8.1.1 ไดด้ ังน้ี

บทนิยาม 8.1.1 กำหนดให้ f (x, y) เป็นฟังก์ชนั ของตัวแปร x และ y โดยที่ f (x, y) สำมำรถ

หำคำ่ ลิมติ ไดท้ ่ี จดุ (x, y) ใด ๆ จะได้วำ่

 f (x, y)  f  x  h, y  f  x, y
x  lim 
h 
h0  

ค่ำของ  f (x, y) เรียกว่ำ “อนุพันธ์ย่อยของ f เทียบกับ x ท่ีจุด (x, y) ” เขียนแทนด้วย

x

สัญลกั ษณ์ fx (x, y) , fx , f หรอื Dx f
x

ในทานองเดียวกัน บทนยิ าม 8.1.2 เป็นการหาอนุพันธ์ย่อยของฟงั กช์ ัน f (x, y) เทยี บกับ y ทจี่ ดุ (x, y)