Page 122 - คณิตศาสตร์ประยุกต์สำหรับเทคโนโลยีอุตสาหกรรม

8-112 คณิตศาสตร์ประยกุ ต์สาหรบั เทคโนโลยีอตุ สาหกรรม

ตัวอยา่ งท่ี 8.2.10 จากสมการ PV  8.31T เม่อื P คอื ความดนั มีหนว่ ยเป็น กโิ ลปาสคาล V คอื ปริมาตร
มีหน่วยเป็นลิตร และ T คือ อุณหภูมิ มีหน่วยเป็นเคลวิน จงหาอัตราการเปล่ียนแปลงความดันท่ีอุณหภูมิ
เท่ากับ 300 เคลวิน และปริมาตรมีค่าเท่ากับ 100 ลิตร โดยที่อัตราการเพ่ิมของอุณหภูมิเป็น 0.1เคลวิน/
วนิ าที และอตั ราการเพิ่มของปรมิ าตรมีค่าเป็น 0.2 ลติ ร/วนิ าที

วธิ ที า
จาก PV  8.31T

จัดรปู ใหม่จะไดว้ ่า P  8.31T ซ่งึ เปน็ ฟังกช์ ันของเวลาของตวั แปรสองตวั คือ V และ T

V

จากกฎลกู โซ่ dP  P . dT  P . dV

dt T dt V dt

   8.31 T  . dT    8.31 T . dV
T  V  dt V  V dt

 8.31. dT  ( 8.31T ). dV (1)
V dt V2 dt

จากโจทย์ จะพบว่า dT  0.1และ dV  0.2 และต้องการหา dP ท่ี V 100 และ
dt dt dt

T  300 เพราะฉะนน้ั แทนคา่ เหลา่ นี้ในสมการ (1) จะไดว้ า่

dP  8.31 (0.1)  ( 8.31(300))(0.2)
dt (T 300,V 100) (100) (100)2

 0.04155

จะเหน็ ว่า dP เปน็ ค่าลบ ซ่งึ หมายถงึ อัตราการเปลยี่ นแปลงทลี่ ดลง
dt (T 300,V 100)

เพราะฉะนนั้ ความดนั มอี ตั ราการเปลีย่ นแปลงที่ลดลง 0.042 กโิ ลปาสคาล/วินาที

สาหรบั กรณกี ารหาอนุพนั ธย์ อ่ ยของฟังก์ชันสามตัวแปรก็สามารถประยุกตใ์ ชก้ ฎลกู โซใ่ นทานองเดียวกัน

ทฤษฎีบท 8.2.3
กาหนดให้ w  f (x, y, z) เป็นฟังกช์ ันสามตัวแปรทส่ี ามารถหาอนพุ นั ธไ์ ด้ และกาหนดให้ x  g(t) ,
y  h(t) และ z  k(t) เป็นฟังก์ชันท่ีหาอนุพันธ์เทียบกับ t ได้ จะได้ว่าอนุพันธ์ของ w เทียบกับ
t คือ

dw  w . dx  w . dy  w . dz
dt x dt y dt z dt