Page 124 - คณิตศาสตร์ประยุกต์สำหรับเทคโนโลยีอุตสาหกรรม

8-114 คณติ ศาสตร์ประยุกตส์ าหรับเทคโนโลยีอุตสาหกรรม

ในกรณีท่ีต้องการให้คาตอบอยู่ในรูปของตัวแปร t ตัวเดียว สามารถทาได้โดยการแทนค่า
x 1 t2, y  t2 1 และ z 1 t2 ในสมการ (1)

จะได้ dw  12(1 t2 )t  4e2(t21)t  2t

dt (1 t2 )

เพราะฉะนน้ั dw มคี า่ เท่ากบั 12xt  4e2yt  2t หรอื 12t(1 t2)  4e2(t2 1)t  2t
(1 t2 )
dt z

ตัวอย่างที่ 8.2.12 กาหนดให้ w  x2  y2  z2 โดยท่ี x  cos, y  sin และ z  tan จง

หา dw เมอื่ กาหนดให้   

d 4

วิธที า

จากโจทยจ์ ะพบว่า สมการของ w เปน็ ฟงั กช์ นั ท่ีอยู่ในรูปของตวั แปร x, y และ z ในขณะทสี่ มการ

ของ x, y และ z เปน็ ฟังกช์ นั ที่อย่ใู นรูปของตัวแปร 

จาก w  x2  y2  z2

  x2  y2  z2 1/2

จากกฎลูกโซใ่ นทฤษฎบี ท 8.2.3 dw  w . dx  w . dy  w . dz
d x d y d z d

จะไดว้ ่า

          dw   x2  y2  z2 1/2 . d cos    x2  y2  z2 1/2 . d sin    x2  y2  z2 1/2 . d tan 
d x d y d z d

 1 (x2  y2  z2 1 (2x)( sin )  1 (x2  y2  z2 1 (2 y)(cos )  1 ( x2  y2  z2 1 (2z)(sec2  )

)2 )2 )2
2 22

โจทย์ต้องการใหห้ า dw เมือ่ กาหนดให้    ซ่ึงก็คือ dw น่นั เอง

d 4 d (  )
4

จะเห็นว่า dw เป็นสมการที่อยู่ในรูปของตัวแปร x, y, z และ  และโจทย์ได้กาหนดค่า   มาให้
4
d

เพราะฉะนั้นการหาค่าของ dw ก็ต้องหาค่าของ x, y, z จากค่าของ  ท่ีโจทย์กาหนดให้มาก่อน แล้ว

d (  )
4

จึงนาไปแทนค่าในสมการ (1)