Page 140 - คณิตศาสตร์ประยุกต์สำหรับเทคโนโลยีอุตสาหกรรม

8-130 คณิตศาสตร์ประยุกตส์ าหรบั เทคโนโลยอี ตุ สาหกรรม

เรอ่ื งท่ี 8.2.3
การหาอนุพันธ์ย่อยของฟงั ก์ชนั ท่ีนยิ ามโดยปรยิ าย

จากเร่ืองท่ีผ่านมาเราคุ้นเคยกับฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ z  f (x, y) ของฟังก์ชันท่ีมีตัวแปรสองตัว

แปร หรือ xn  f (x1, x2,.., xn1) ในกรณีฟังก์ชันที่มีตัวแปร n 1 ตัวแปร ซ่ึงเราเรียกฟังก์ชันรูปแบบน้ีวา่
ฟังก์ชันชัดแจง้ (explicit function) แต่ก็ยังมีฟงั ก์ชันที่อยู่ในอีกหนงึ่ รูปแบบท่ีสามารถพบบ่อย น่ันคือฟงั ก์ชนั ที่

อยู่ในรูปแบบ F(x, y, z)  0 ในกรณีฟังก์ชันที่มีตัวแปรสองตัวแปร หรือ F(x1, x2,.., xn)  0 ในกรณี
ฟังก์ชันที่มีตัวแปร n 1 ตัวแปร ซึ่งเราเรียกฟังก์ชันรูปแบบน้ีว่า ฟังก์ชันที่นิยามโดยปริยาย (implicit

function)

ในการหาอนุพันธ์ยอ่ ยของฟงั ก์ชันทน่ี ิยามโดยปรยิ ายน้ี สามารถพสิ ูจนด์ ้วยกฎลูกโซด่ งั นี้

จากสมการ F(x, y, z)  0

เนื่องจาก z  f (x, y) จะได้วา่ F(x, y, f (x, y))  0

และกาหนดให้ u1(x, y)  x , u2(x, y)  y และ u3(x, y)  z
จะได้ F(u1(x, y),u2(x, y),u3(x, y))  0

จากกฎลูกโซ่ F . u1  F . u2  F . u3  0 (1)

u1 x u2 x u3 x

เนื่องจาก u1  1 , u2  0 และ u3  f
x x x x

เมอ่ื แทนค่าในสมการ (1) จะได้วา่ F  F . f  0

u1 u3 x
F

ดงั นนั้ f (x, y)   u1
x F

u3

F

และเมื่อแทนคา่ กลับจะได้วา่ z   x , F  0
x F
z

z

หรือ z   Fx , Fz  0
x Fz