Page 43 - คณิตศาสตร์ประยุกต์สำหรับเทคโนโลยีอุตสาหกรรม

อนพุ นั ธย์ อ่ ย 8-33

เร่ืองท่ี 8.1.2
การหาอนพุ ันธ์ย่อยโดยใชส้ ูตร

นอกจากใช้ลิมิตของฟังก์ชันเพ่ือหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันหลายตัวแปรดังเรื่องที่ผ่านมาแล้ว ก็ยัง
สามารถหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันหลายตัวแปรเหล่านโี้ ดยใช้สูตร ในการหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันหลายตัว
แปรโดยใช้สูตรน้ัน จะใช้สูตรเดียวกันกับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันหนึ่งตัวแปรซ่ึงได้กล่าวมาแล้วในหนว่ ยท่ี 2
โดยท่ีถ้าต้องการหาอนุพันธ์ย่อยเทียบกับตัวแปรใดตัวแปรหน่ึง ก็ให้ตัวแปรอื่น ๆ ที่เหลือเป็นค่าคงตัว เช่น
กาหนดให้ f (x, y, z)  x2  xy  yz  y2  z2 ซึ่งเป็นฟงั กช์ นั สามตัวแปร คือ ตวั แปร x , y และ z ถ้า
ต้องการหาอนุพันธ์ย่อยของ f (x, y, z) เทียบกับตัวแปร x ก็ให้ตัวแปร y และ z เป็นค่าคงตัว หรือถ้า
ต้องการหาอนุพันธ์ย่อยของ f (x, y, z) เทียบกับตัวแปร y ก็ให้ตัวแปร x และ z เป็นค่าคงตัว เป็นต้น
จากน้นั ก็ใช้สูตรการหาอนุพันธท์ ี่เรียนมาเพอื่ หาอนพุ ันธ์ยอ่ ยเหล่านี้

ตวั อย่างท่ี 8.1.7 กาหนดให้ f (x, y)  x4 y3 8x2 y  y4  5x จงหา f และ f

x y

วธิ ีทา
จาก f (x, y)  x4 y3 8x2 y  y4  5x จะเห็นว่าเป็นฟังก์ชันสองตัวแปรคือ ตัวแปร x และ
ตวั แปร y

1) หา f โดยกาหนดให้ตวั แปรทเ่ี หลือซ่ึงกค็ อื ตัวแปร y เป็นคา่ คงตวั จะไดว้ ่า

x
f   (x4 y3  8x2 y  y4  5x)
x x
  (x4 y3)   (8x2 y)   ( y4 )   (5x)
x x x x
 4x3 y3 16xy  0  5

 4x3 y3 16xy  5

เพราะฉะนั้น f  4x3 y3 16xy  5

x