Page 75 - คณิตศาสตร์ประยุกต์สำหรับเทคโนโลยีอุตสาหกรรม

อนพุ นั ธย์ อ่ ย 8-65

เพราะฉะน้ัน ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่เกิดจากรูปทรงพาราโบลา z  x2  y2 ตัดกับระนาบ
x 1คือ 4

2) ระนาบ y  2

ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งท่ีเกิดจากรูปทรงพาราโบลา z  x2  y2 ตัดกับระนาบ y  2 คือ

ค่าอนุพนั ธย์ ่อยของ z ท่จี ุด (1,2) หรอื z (1, 2) น่นั เอง

x x

จะไดว้ า่ z   (x2  y2 )
x x

  (x2)   (y2)
x x

 2x  0

 2x

ทาให้ไดว้ า่ z (1, 2)  2(1)  2

x

เพราะฉะนน้ั ความชนั ของเส้นสัมผสั เส้นโคง้ ทเี่ กิดจากรูปทรงพาราโบลา z  x2  y2 ตัดกับระนาบ

y  2 คอื 2

ตัวอย่างที่ 8.1.20 จงหาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งท่ีเกิดจากการตัดกันของ z  3x2  2y2 1 กับระนาบ
และจุดทก่ี าหนดใหต้ ่อไปนี้

1) ระนาบ x 1 ที่จดุ (1, 2, 4)
2) ระนาบ y  2 ทจี่ ุด (1, 2, 4)
วิธีทา

1) สมการพ้ืนผวิ z  3x2  2y2 1 ตดั กบั ระนาบ x 1 ที่จดุ (1, 2, 4)
จากขน้ั ตอนในการหาเส้นสมั ผสั เส้นโค้ง จะได้ว่า

1.1) หาความชนั ของเส้นโค้งทีจ่ ดุ (1,2,4) ซ่ึงก็คือ การหาอนุพันธย์ อ่ ยเทยี บกับ y นนั่ เอง

จะได้วา่ ความชันของเส้นโค้ง  z   (3x2  2 y2 1)
y y

  (3x2 )   (2 y2 )   (1)
y y y

 0 4y  0

 4y

เพราะฉะนัน้ ความชันของเส้นโคง้ ท่จี ดุ (1,2,4) มคี า่ เทา่ กับ 4(2)  8