Page 76 - คณิตศาสตร์ประยุกต์สำหรับเทคโนโลยีอุตสาหกรรม

8-66 คณติ ศาสตรป์ ระยุกตส์ าหรบั เทคโนโลยอี ตุ สาหกรรม

1.2) หาสมการเสน้ สมั ผัสเสน้ โคง้ จากความชันที่ไดใ้ น a)

จากสมการ (8.1.2) z f (x0, y0 )  f ( x0 , y0 )( y  y0 ) และ x x0
y

ซึ่งเป็นสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งท่ีเกิดจากการตัดกันระหว่างสมการ z  f (x, y) และระนาบ

x  x0 ทจี่ ดุ (x0, y0, f (x0, y0))
โจทย์กาหนดให้หาสมการเส้นโค้งที่จุด (1, 2, 4) ซึ่งก็คือ x0 1, y0  2 และ

f (x0, y0 )  4 ส่วน f ( x0 , y0 ) ก็คือ ความชันของเส้นโค้งท่จี ุดดงั กลา่ ว ซ่ึงมีค่าเท่ากับ 8 จากการหาใน
y

a)

เพราะฉะนน้ั แทนคา่ f ( x0 , y0 )  4, f ( x0 , y0 )  8, y0  2 ลงในสมการ (8.1.2)
y

จะได้วา่ z  (4)  8(y  (2)) และ x 1

z  4  8y 16 และ x 1

z  8y 12 และ x 1

ดังน้ัน สมการเส้นสัมผสั เสน้ โค้งทจี่ ดุ (1, 2, 4) คอื z  8y 12 และ x 1

2) สมการพืน้ ผิว z  3x2  2y2 1 ตดั กบั ระนาบ y  2 ทจี่ ุด (1, 2, 4)
จากขน้ั ตอนในการหาเส้นสมั ผสั เส้นโค้ง จะได้ว่า

2.1) หาความชันของเส้นโค้งทีจ่ ดุ (1,2,4) ซึง่ กค็ ือ การหาอนุพนั ธ์ยอ่ ยเทยี บกบั x นนั่ เอง

จะได้วา่ ความชันของเส้นโค้ง  z   (3x2  2 y2 1)
x x

  (3x2 )   (2 y2 )   (1)
x x x

 6x  0 0

 6x

เพราะฉะนั้น ความชันของเส้นโคง้ ทจ่ี ดุ (1,2,4) มคี า่ เท่ากับ 6(1)  6

2.2) หาสมการเส้นสมั ผัสเสน้ โค้ง จากความชนั ท่ไี ดใ้ น a)

จากสมการ (8.1.1) z f ( x0 , y0 )  f ( x0 , y0 )(x  x0 ) และ y y0
x
ซ่ึงเป็นสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่เกิดจากการตัดกันระหว่างสมการ z  f (x, y) และ ระนาบ

y  y0 ที่จดุ (x0, y0, f (x0, y0))