Page 77 - คณิตศาสตร์ประยุกต์สำหรับเทคโนโลยีอุตสาหกรรม

อนุพนั ธย์ ่อย 8-67

โจทย์กาหนดให้หาสมการเส้นโค้งที่จุด (1,2,4) ซึ่งก็คือ x0  1, y0  2 และ

f (x0, y0 )  4 ส่วน f ( x0 , y0 ) ก็คือ ความชันของเส้นโค้งท่ีจดุ ดังกลา่ ว ซึ่งมีค่าเท่ากับ 6 จากการหาใน
x
a)

เพราะฉะน้ัน แทนคา่ f ( x0 , y0 )  4, f ( x0 , y0 )  6, x0  1 ลงในสมการ (8.1.1)
x
จะได้ว่า z  (4)  6(x  (1)) และ y  2

z  4  6x  6 และ y  2

z  6x  2 และ y  2

ดงั นน้ั สมการเสน้ สัมผัสเส้นโคง้ ที่จดุ (1,2,4) คอื z  6x  2 และ y  2

ตัวอย่างที่ 8.1.21 จงหาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่เกิดจากการตัดกันของ z  ln(3x2  2y2) กับระนาบ

และจดุ ทก่ี าหนดให้ต่อไปน้ี

1) ระนาบ y  1 ทจ่ี ุด (1, 1,0)
2) ระนาบ x 1 ทีจ่ ุด (1,1,0)
วธิ ที า

1) สมการพ้ืนผวิ z  ln(3x2  2y2) ตดั กบั ระนาบ y  1 ที่จดุ (1, 1,0)
จากข้นั ตอนในการหาเส้นสมั ผสั เส้นโค้ง จะได้วา่

1.1) หาความชนั ของเส้นโคง้ ทจี่ ดุ (1,1,0) ซึง่ กค็ ือ การหาอนพุ นั ธ์ยอ่ ยเทยี บกับ x นนั่ เอง

จะไดว้ ่า ความชนั ของเสน้ โคง้  z   (ln(3x2  2y2 ))
x x

 3x2 1  (3x2  2y2)
 2y2 x

 3x2 1 2 y2   (3x2 )   (2 y2 ) 
  x x 

 3x2 1 2y2 6x  0


 6x
3x2  2y2

เพราะฉะน้นั ความชนั ของเสน้ โคง้ ทจี่ ดุ (1, 1,0) มคี ่าเทา่ กับ 6(1)  6
3(1)2  2(1)2