Page 78 - คณิตศาสตร์ประยุกต์สำหรับเทคโนโลยีอุตสาหกรรม

8-68 คณิตศาสตรป์ ระยกุ ต์สาหรับเทคโนโลยีอตุ สาหกรรม

1.2) หาสมการเสน้ สัมผสั เส้นโค้ง จากความชนั ทไ่ี ดใ้ น a)

จากสมการ (8.1.1) z f ( x0 , y0 )  f ( x0 , y0 )(x  x0 ) และ y y0
x
ซึ่งเป็นสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งท่ีเกิดจากการตัดกันระหว่างสมการ z  f (x, y) และระนาบ

y  y0 ท่จี ุด (x0, y0, f (x0, y0))
โจทย์กาหนดให้หาสมการเส้นโค้งที่จุด (1,1,0) ซ่ึงก็คือ x0  1, y0  1 และ

f (x0, y0 )  0 ส่วน f ( x0 , y0 ) ก็คือ ความชันของเส้นโค้งทจี่ ุดดังกล่าว ซ่ึงมีค่าเท่ากับ 6 จากการหาใน
x
a)

เพราะฉะนน้ั แทนค่า f ( x0 , y0 )  0, f ( x0 , y0 )  6, x0  1 ลงในสมการ (8.1.1)
x
จะไดว้ า่ z  (0)  6(x  (1)) และ y  1

z  6x  6 และ y  1

ดังน้นั สมการเสน้ สัมผัสเสน้ โค้งท่ีจุด (1,1,0) คือ z  6x  6 และ y  1

2) สมการพนื้ ผิว z  ln(3x2  2y2) ตัดกบั ระนาบ x 1 ทจ่ี ดุ (1,1,0)
จากข้ันตอนในการหาเสน้ สัมผสั เส้นโค้ง จะไดว้ ่า

2.1) หาความชนั ของเส้นโค้งทจ่ี ดุ (1,1,0) ซึ่งกค็ ือ การหาอนพุ ันธย์ ่อยเทียบกบั y นั่นเอง

จะได้วา่ ความชันของเสน้ โคง้  z   (ln(3x2  2 y2 ))
y y

1  (3x2  2 y2 )
3x2  2 y2 y

 3x2 1 2 y2   (3x2 )   (2 y2 ) 
  y y 
 

 3x2 1 2y2 0  4y


 4y
3x2  2y2

เพราะฉะนนั้ ความชนั ของเสน้ โคง้ ท่จี ุด (1,1, 0) มคี ่าเท่ากับ 4(1)  4
3(1)2  2(1)2

2.2) หาสมการเส้นสัมผสั เสน้ โคง้ จากความชนั ที่ไดใ้ น a)

จากสมการ (8.1.2) z f (x0, y0 )  f ( x0 , y0 )( y  y0 ) และ x x0
y