Page 88 - คณิตศาสตร์ประยุกต์สำหรับเทคโนโลยีอุตสาหกรรม

8-78 คณติ ศาสตรป์ ระยุกตส์ าหรับเทคโนโลยอี ตุ สาหกรรม

เรือ่ งท่ี 8.2.1
การหาอนพุ นั ธย์ อ่ ยอันดับสงู

อนุพันธ์ย่อยอันดับสูงคืออนุพันธ์ท่ีมีอันดับมากกว่าหนึ่ง เช่น อนุพันธ์ย่อยอันดับสอง อนุพันธ์ย่อย

อันดับสาม เป็นต้น ท่ีผ่านมาเราเรียก f ว่าอนุพันธ์ย่อยอันดับหน่ึงเทียบกับ x และเรียก f ว่าอนุพันธ์

x y

ย่อยอันดับหน่ึงเทียบกับ y และหากนา f และ f มาหาอนุพันธ์ย่อยอีกครั้ง เราจะเรียกว่าอนุพันธ์ย่อย

x y

อันดับสอง ซงึ่ มีรายละเอียดดงั นค้ี อื
ถ้า f  (x, y) เป็นฟังก์ชันของตัวแปร x และ y อนุพันธ์ย่อยอันดับที่สองของฟังก์ชัน f จะมี 4 รูปแบบ
คอื

1)   f ( x, y)  เป็นการหาอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ x ท้ังอันดับหน่งึ และสอง สามารถเขียนแทน
x  x 

ด้วยสญั ลักษณ์ 2 f หรือ f xx

x2

2)   f (x, y)  เป็นการหาอนุพันธย์ ่อยอันดบั หนึง่ โดยเทียบกับ y ส่วนอันดับสองจะเทยี บกบั
x  y 
 

x สามารถเขยี นแทนด้วยสัญลักษณ์ 2 f หรอื f yx
xy

3)   f ( x, y)  เป็นการหาอนุพันธ์ย่อยอันดับหนง่ึ โดยเทียบกับ x ส่วนอันดับสองจะเทียบกับ
y  x 

y สามารถเขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ 2 f หรือ f xy
yx

4)   f (x, y)  เป็นการหาอนุพนั ธ์ย่อยเทียบกับ y ทั้งอันดับหนึ่งและสอง สามารถเขียนแทน
y  y 
 

ดว้ ยสัญลักษณ์ 2 f หรือ f yy

y 2

ขอ้ สงั เกต

สาหรับสัญลักษณ์ fxy  ( fx)y ซึ่งเป็นการหาอนุพันธ์ย่อยอันดับหน่ึงโดยเทียบกับ x ก่อนแล้วค่อย
หาอนุพันธ์ย่อยอันดับสองเทียบกับ y จะเห็นว่าตัวแปรท่ีห้อยอยู่ใกล้ f มากที่สุด (ตัวแปร x ) เป็นการหา